Posts Tagged ‘espace

01
Sep
08

Le double triangle universel

Voici une découverte complémentaire (partiellement terminée) concernant le triangle universel. Elle concerne les processus psychiques ou spirituels internes et leur parallèle avec le triangle universel et ses catégories présentés dans un article précédent (https://lamonade.wordpress.com/2008/05/05/le-triangle-universel/):

La hiérarchie est la même que dans le triangle universel classique, seulement dans ce dessin, la hiérarchie s’opère du haut vers le bas pour la partie intérieure:

– la volonté suppose le pouvoir: « quand on veut, on peut »; je crois en fait que l’univers est tellement parfait qu’il nous est impossible de vraiment, profondément et sincèrement vouloir quelque chose sans pouvoir y arriver;

– le pouvoir suppose l’avoir: « quand on peut, on a les moyens »; en effet, dire que l’on peut faire quelque chose suppose que nous avons les moyens d’y arriver;

– l’avoir suppose la sensation: « quand on a, on sent »; dire que l’on a quelque chose comme « j’ai faim » ou « j’ai 15 ans » suppose que c’est quelque chose que nous ressentons (le verbe voir est utilisé dans son sens plus général de sentir);

– la vision suppose la sagesse: « quand voit, on sait »; cela est évident car lorsque l’on est allé dans l’espace et qu’on a vu la Terre, on sait qu’elle est ronde, et on le sait donc parce que l’on a vu;

– la sagesse suppose la croyance: « quand on sait, on croit »; c’est vrai parce que savoir quelque chose implique que l’on croit ce que l’on sait, par exemple, dans l’exemple d’un voyage dans l’espace, en voyant la Terre ronde, on sait qu’elle est ronde, mais on croit aussi que ce que l’on voit est vrai;

– la croyance suppose l’être: « quand on croit, on est »; ou peut-être pourrait-on dire « on est ce que l’on croit qu’on est » mais l’idée est de dire que la croyance est ce qui nourrit notre existence; le meilleur exemple sont les croyances de la vie après la mort comme au Mexique où les Aztèques enseignaient que les guerriers mourrant au combat réincarnaient un oiseau-mouche. Où pensez-vous que l’esprit des guerriers se dirigeaient volontairement après être morts au combat? À la recherche d’un oiseau-mouche évidemment! La preuve est dans ce exemple que l’on devient ce que l’on croit que l’on est;

– en continuité avec le point précédent, la plus grande vérité est la suivante « on est qui on veut être » (ou bien « on est qui on veut devenir) ».

Les deux verbes qui englobent tout ce principe sont le verbe être et le verbe vouloir. En les combinant, on remarque que l’on peut dire « Je suis qui je veux » ou bien « Je veux être … ». Dans les deux cas, on remarque notre entière liberté quant à notre manière de nous définir. Je dirai même que c’est la plus grande particularité de l’être intelligent qui le différencie de tous les animaux: la liberté de se défnir. La question n’est donc pas tellement « qui sommes-nous? » mais surtout « qui voulons-nous être? »!

Si l’humanité devait répondre à cette question en ce moment, on verrait certainement deux groupes: ceux voulant être en harmonie avec l’Univers, étant libérés et ayant transcendés le principe de dualité et d’opposition, et ceux voulant perdurer dans ce monde de dualité, de conflits, de contradictions, d’injustice, etc.

Alors, qui voulez-vous être? ou qui voulez-vous devenir?

10
Mai
08

aUI: le langage de l’espace

aUI a 42 phonèmes (incluant les variations nasales des voyelles pour les nombres), chacun étant associé à un principe particulier. Les voyelles en majuscules sont prononcées plus longuement:

• a (prononcé comme dans aller): ‘espace’
• A (prononcé comme dans âme): ‘temps’
• e (prononcé comme dans été): ‘mouvement’
• E (prononcé plus longuement “éé”): ‘matière’
• i (prononcé comme dans hiver): ‘lumière’
• I (prononcé plus longuement “ii”): ‘son’
• u (prononcé comme le “ou” dans ours): ‘humain’
• U (prononcé plus longuement “oouu”): ‘esprit’
• o (prononcé comme dans eau): ‘vie’
• O (prononcé comme dans ôser): ‘sentiment’

• y (prononcé comme le “u” dans une): ‘négatif’
• q (prononcé comme le “eu” dans heure): ‘condition’

• a*: 1 (l’astérisk indique que le son est court, nasal et represent un nombre)
• e*: 2
• i*: 3
• u*: 4
• o*: 5
• A*: 6
• E*: 7
• I*: 8
• U*: 9
• O*: 10
• y*: 0

• b: ‘ensemble’
• c (prononcé comme le “ch” dans chemin): ‘être’
• d: ‘à travers’
• f: ‘ceci’
• g: ‘intérieur/dedans’
• h: ‘question’
• j: ‘égal’
• k: ‘au dessus’
• l: ‘rond’
• m: ‘qualité’
• n: ‘quantité’
• p: ‘avant’
• r: ‘positif’
• s: ‘chose’
• t: ‘vers’
• v: ‘actif’
• w: ‘pouvoir’
• x (prononcé comme le “x” espagnol dans México): ‘relation’
• z: ‘partie’

05
Mai
08

Le Triangle Universel

1. La définition d’une chose et la fin des catégories aristotéliciennes


Il est important de souligner avant de commencer ce que l’on entend par le mot « chose » dans tout le reste de cet essai. Une « chose » signifie n’importe quoi que l’on peut sentir, voir, entendre, toucher, goûter ou imaginer. Tout et n’importe quoi est une chose.

Prenons donc une chose. Comment la comprendre? Comment la connaître? Pour approcher l’étude d’une chose, on doit poser des questions sur cette chose et y répondre clairement. Alors quelles questions successives pouvons-nous poser sur une chose pour pouvoir la comprendre?

La première question, la plus élémentaire est la suivante : qu’est-ce que c’est? La question paraît très simple mais c’est sûrement celle pour laquelle une réponse claire est la plus dure à donner. En répondant à cette question, on touche à l’essence de la chose et on dit tout sur cette chose. Évidemment, c’est extrêmement difficile de pouvoir tout dire ce qui définit une chose, voire même impossible. L’essence d’une chose ne pourra jamais s’exprimer de manière formelle parce qu’en la formalisant, on la dénature, et en la dénaturant, on ne dit pas tout sur elle. La seule manière d’exprimer l’essence pure d’une chose est par une métaphore, comme celles qu’on rencontre dans le monde artistique. Si quelqu’un me demande ce qu’est la liberté, je pourrai lui donner une idée vague de ce que c’est mais seulement l’artiste pourra arriver à un niveau supérieur d’expression et de communication de cette idée. Il s’agira d’une métaphore et comme métaphore, l’idée ne se trouvera pas dans l’œuvre artistique en tant que tel, mais dans l’interprétation ou la réflexion de l’esprit de l’observateur qui la regarde et essaie de la comprendre.

Cette première question est très générale et nous oblige à saisir toute la définition de la chose d’un seul coup. Mais la définition d’une chose, donc l’entendement de son essence, peut se faire par parties. La chose a des propriétés uniques que l’on peut étudier.

La seconde question, qui suit directement celle de l’essence, est celle de l’existence : est-ce que la chose existe? Cette question nous permet deux réponses immédiates : oui ou non.

Mais une autre réponse est possible : peut-être. Si je demande à quelqu’un : « est-ce que tu as mangé? ». S’il me répond « peut-être », cela signifiera que ma question n’est pas assez précise, et que je dois la reformuler de manière plus détaillée. Mais voyons alors comment il serait possible d’interpréter sa réponse « peut-être » de sorte à mieux comprendre ce qui n’est pas clair pour lui. « Peut-être » voudrait dire que dépendamment de ma reformulation il pourrait répondre « oui j’ai mangé » ou « non je n’ai pas mangé ». Comment ces deux réponses sont-elles donc potentiellement possibles dans son esprit? Comment peut-il avoir à la fois mangé, et pas mangé? Que devrais-je donc préciser? La notion de temps évidemment! Je dois préciser à quel moment je me réfère. On voit apparaître la nature de la prochaine question : le temps.

On peut commencer à construire un arbre, en commençant avec l’essence, de qui on fait pousser deux branches vers le bas, une pour le oui, et une pour le non. Voyons maintenant quelle autre question suit logiquement celle de l’existence.

Une fois qu’on a répondu à la question « est-ce que la chose existe? », ou si la réponse est ambiguë, on peut se demander : « quand est-ce qu’elle existe? » Et c’est là notre troisième catégorie de question : le temps. Comment se situe la chose dans le temps? À cette question générale, trois possibilités se présentent devant nous : soit la chose existe toujours, soit elle existe des fois, ou soit elle n’existe jamais, il n’y a aucune autre réponse élémentaire que l’on pourra donner. Chaque réponse correspond à une des trois caractéristiques du temps que l’on vient d’énumérer. Pour compléter l’arbre à partir des deux branches du oui et du non, on doit placer sous ces deux notions le toujours, le des fois et le jamais. Nous avons deux réponses pour l’existence, et maintenant trois pour le temps. Si je fais pousser deux branches du oui et deux branches du non, j’aurai quatre branches et pas trois. La solution à ce problème serait de joindre la deuxième branche du oui avec la première branche du non, ainsi nous obtenons trois branches. Où placer nos trois nouvelles réponses du temps? Commençons avec le toujours. Quelque chose qui n’existe pas ne peut pas exister toujours, seulement quelque chose qui existe peut exister toujours. Le toujours se branchera alors au oui et ne sera pas relié au non. Le toujours se place donc à la première branche du oui, à l’extrême gauche. En suivant le même raisonnement avec le jamais, on le place à la deuxième branche du non, à l’extrême droite, celle qui ne touche pas le oui. Il nous reste le des fois, que l’on place au milieu, à la jonction du oui et du non. Et cela est parfaitement logique : quelque chose dont l’existence est ambiguë entre le oui et le non existe des fois (c’est le peut-être).

Après avoir répondu à la question « quand est-ce que la chose existe (ou n’existe pas)? », on peut se demander « est-ce qu’elle existe (ou n’existe pas)? » Il s’agit donc de l’espace que cette chose occupe. En pensant une fois de plus à toutes les réponses élémentaires à cette question, on voit qu’une chose peut exister partout, nulle part, à plusieurs endroits, ou en un seul endroit. Toutes les réponses sur l’emplacement d’une chose peut rentrer dans une de ces quatre réponses. Nous avons donc quatre réponses possibles. Maintenant, plaçons-les dans l’arbre. Nous avions trois réponses pour le temps, et maintenant quatre pour l’espace. Si nous faisons pousser deux branches de chaque réponse du temps, nous en obtiendrons six. Nous devons alors faire comme avec les branches de l’existence, c’est-à-dire joindre des branches ensemble : la seconde branche du toujours, avec la première branche du des fois; la seconde branche du des fois avec la première du jamais. Ainsi nous avons une branche indépendant pour le toujours, de même avec le jamais, ce qui fait deux branches. Puis une branche commune du toujours et du des fois, et de même avec le des fois et le jamais, ce qui fait deux autres branches. Nous obtenons donc quatre branches au total, pour nos quatre réponses. Quelque chose qui existe partout doit exister toujours, et de même, quelque chose qui existe nulle part n’existe jamais. Quelque chose qui existe en plusieurs endroits est entre le toujours et le des fois, et quelque chose qui existe en un seul endroit est entre le des fois et le jamais. Les quatre réponses possibles de l’espace sont ainsi placées.

Après avoir défini l’espace, ou le lieu qu’une chose occupe, on peut se questionner sur sa quantité. Quelle quantité est-ce que cette chose occupe dans l’espace? Elle peut représenter tout, rien, beaucoup, peu, ou assez. En utilisant le même principe de branchement, on obtient 5 endroits pour placer nos réponses. Quelque chose qui représente tout dans l’espace doit exister partout, tout comme quelque chose qui représente rien dans l’espace n’existe nulle part. Le beaucoup se place au branchement du partout et du plusieurs endroits, le peu au branchement du un endroit et du nulle part, et finalement le assez au branchement du plusieurs endroits et du un endroit.

Après avoir déterminé la quantité d’une chose, on peut continuer avec sa capacité pour lui donner un sens plus profond. « J’ai beaucoup de cette chose, mais est-ce que cette chose me permet de faire, de créer, d’acquérir, de vivre, etc.? » Le meilleur exemple est celui de deux hommes qui se retrouvent dans le désert : l’un avec une valise remplie d’argent et l’autre avec une bouteille remplie d’eau. C’est un problème de quantité et de capacité. Pour parler de capacité, on peut dire que quelque chose est utile ou inutile, puissant ou impuissant, fort ou faible. Il est important de noter que les termes utilisés ne sont peut-être pas les plus adéquats mais ils représentent une notion générale de gradations ou singularités des capacités. Nous sommes limités par nos connaissances et par la langue que nous parlons. D’autres personnes pourront sûrement trouver des termes plus appropriés en français, ou dans d’autres langues pour désigner ces idées. Ceci dit, continuons en gardant en tête le principe de tout cet arbre et comment les concepts sont reliés entre eux. Quelque chose d’utile doit avoir une quantité totale, comme quelque chose d’inutile doit avoir une quantité nulle (rien). Le puissant se place au branchement du tout et du beaucoup. L’impuissant au branchement du peu et du rien; le fort au branchement du beaucoup et du assez et le faible au branchement du assez et du peu.

Après la capacité, la prochaine phase de définition d’une chose est sa qualité. Les différentes qualités possibles sont les suivantes : parfait/nul, bien/mal, bon/mauvais et neutre. Quelque chose de parfait doit être utile, tout comme quelque chose de nul doit être inutile. Le bien se place entre l’utile et le puissant, le mal entre l’impuissant et l’inutile; le bon entre le puissant et le fort, le mauvais entre le faible et l’impuissant; et le neutre entre le fort et le faible. Les termes anglais pour bien/mal et bon/mauvais paraissent plus adaptés et plus explicites : « right » pour bien, « wrong » pour mal et « good » pour bon et « bad » pour mauvais. En anglais, on remarque tout de suite la supériorité de « right » par rapport à « good » alors que la différence du bien et du bon en français paraît plus ambiguë. C’est pour cela que je rappelle encore que cette étude est limitée par mes propre connaissances, et par la langue française elle-même. Sûrement d’autres langues auraient une approche beaucoup plus appropriée de cette étude. Je rappelle que les mots ne sont pas importants en soi, mais plutôt les concepts qu’ils représentent et le principe général qui les unit dans l’arbre. J’appellerai cet arbre le triangle gnostique (ou universel).

Pour résumer, la définition d’une chose revient à répondre à la question suivante : qu’est-ce que c’est? En répondant de manière directe à cette question, on définit l’essence de cette chose. Pour approcher l’essence de la chose de manière plus systématique, on doit étudier ses propriétés suivantes : son existence (c’est-à-dire si elle existe ou pas), son temps (sa durée ou son occupation dans le temps), son espace (ou le lieu qu’elle occupe), sa quantité, sa capacité et sa qualité. On remarque que ces 7 principes (essence, existence, temps, espace, quantité, capacité, qualité) ressemblent quelque peu aux 10 catégories d’Aristote, à la différence que ses 10 catégories sont purement arbitraires et toutes autant axiomatiques l’une que l’autre, alors que les 7 principes énumérés précédemment suivent une continuité, un ordre logique et sont auto-évidentes quand elles sont agencées dans le triangle gnostique. J’affirme donc que ce triangle gnostique est inné dans l’esprit de chacun, quelque soit notre culture ou notre éducation : il représente des liens universels entre les principes innés de notre esprit.

Ainsi, à l’aide de ce triangle on est capable de résoudre quelques problèmes ontologiques voire épistémologiques de la philosophie. Des problèmes tels que : « est-ce que l’existence précède l’essence? » ou « est-ce que le temps précède l’existence? » sont rapidement résolus en regardant l’ordre du tableau. D’abord on remarque que le problème de précédence de l’existence sur l’essence ne peut pas s’approcher d’un point de vue strictement temporel, mais doit se remettre à l’ordre de l’étude des suppositions et des dépendances. Comme expérience on peut essayer d’imaginer l’existence sans l’essence. Déjà l’existence seule ne semble avoir aucun sens, on doit parler de l’existence de quelque chose, alors que je peux parler de quelque chose sans nécessairement parler de son existence. Avec cette courte expérience, on comprend que l’essence est plus primitive que l’existence et que donc Sartre se trompait quand il disait : « l’existence précède l’essence », ou alors il avait une définition erronée du verbe « précéder ».

Aussi, on voit que quand Prigogine (physicien italien contemporain) dit que le temps précède l’existence, il se trompe aussi. Pour se faire une idée du temps dans l’esprit, on doit supposer l’existence de quelque chose (d’un changement pour être précis), alors que l’existence de quelque chose ne nous force pas à supposer l’existence du temps. L’existence de quelque chose peut être indépendante du temps. Pour renforcer cet argument encore plus, il convient de poser ce paradoxe : je peux parler de l’existence du temps (est-ce que le temps existe?), mais je ne peux pas parler de la temporalité de l’existence (quand est-ce que l’existence existe?)!.

Pour définir une chose, il convient alors d’étudier sa place par rapport à chacun des 7 principes énumérés. Cette manière de faire nous permet d’avoir une approche générale et systématique pour aborder l’entendement d’une chose. Mais bien évidemment notre raisonnement ne se limite pas seulement à ça. L’intelligence nous permet de faire des liens entre différentes choses, et ne nous limite pas qu’à un entendement isolé de ces dernières. C’est dans la partie suivante que je vais utiliser les 7 principes énumérés précédemment pour faire des liens entre des choses.

2. L’intelligence, ou comment faire des liens entre les choses


Prenons deux choses maintenant et faisons des liens entre elles. Déjà, nous pouvons définir chacune des choses en les repérant dans le triangle gnostique. Une fois le repérage effectué pour chacune des deux choses, il s’agit maintenant de faire des liens entre elles, c’est-à-dire d’avoir un outil pour les comparer.

Comme la définition de la chose peut se décomposer en 7 principes, alors la comparaison de deux choses peut et doit s’effectuer selon ces 7 principes.

a. la comparaison « essentielle »

Comment comparer l’essence de deux choses. Soient deux choses A et B. Quelle est la comparaison (la plus) essentielle que je peux faire entre elles? J’ai trois possibilités : « A et B sont différents (contraires, opposés, autre) », « A et B sont identiques (pareils, même) » ou alors « A et B sont semblables (similaires : ils ne sont pas totalement identiques ni différents, ils ont quelque chose en commun) ». J’ai précisé qu’un synonyme strict pour l’adjectif « différent » est opposé, ou contraire parce que deux choses ne pourront jamais avoir aucun point en commun, sauf si elles sont des contraires. On a donc trois types de relations pour l’essence : différent, semblable et identique.

Quelques exemples :

nous avons le même prénom;

notre moyenne en maths est similaire;

nous avons des idéologies opposées.

b. la comparaison « existentielle »

Ensuite, pour faire un lien entre l’existence de deux choses A et B, on peut se demander si A est la cause de B, si B est la cause de A, ou alors si A et B n’ont pas de liens de causalité, et sont donc indépendantes l’une de l’autre. Il y a donc encore trois types de relations existentielles : la causalité, l’indépendance et la conséquence (l’effet).

Exemples :

la sonnerie du téléphone a causé mon réveil;

mes croyances sont indépendantes de ta volonté;

ton sourire est la conséquence de mon cadeau.

c. la comparaison temporelle

Le lien de temporalité est simple : avant, pendant, ou après. On compare une chose avec l’autre : est-ce que A existe avant B, pendant B ou après B?

Exemples :

la révolution américaine s’est terminée avant la révolution française;

je te parlais pendant que je faisais à manger;

je me suis couché après avoir fini mon livre.

d. la comparaison spatiale

Le lien d’espace est aussi simple : dedans (intérieur), sur (dessus), ou dehors (extérieur). Est-ce qu’une chose existe à l’intérieur, sur, ou à l’extérieur de l’autre?

Exemples :

le magma est formé à l’intérieur de la Terre;

ils ont fait des graffiti sur ma voiture;

il est parti à l’extérieur du pays.

e. la comparaison quantitative

Le lien de quantité est lui aussi très évident, et on peut le voir comme la base des nombres : moins, autant, ou plus. Est-ce qu’une chose a moins, autant ou plus que l’autre? On peut se demander : moins, autant, ou plus de quoi? On pourrait comparer la masse des deux choses, puisque la masse se définit comme la quantité de matière. Je laisse leur mot à dire aux physiciens et chimistes là-dessus.

Exemples :

je me suis fait moins d’argent cette année que l’année dernière;

il y avait autant de personnes qu’au premier concert;

il a reçu plus de votes que moi.

f. la comparaison « capacitative »

Pour la capacité, les liens sont les suivants : inférieur, égal, ou supérieur. Est-ce qu’une chose est inférieure, égale ou supérieure à l’autre? Il s’agit donc de comparer leur pouvoir, leur capacité, leur potentiel respectif. Encore on peut se demander : le pouvoir de faire quoi? On pourrait parler d’énergie, et on verrait surgir la fameuse équation d’Einstein « E = m*c^2 » (l’énergie est égale à la masse multiplié par le carré de la vitesse de la lumière), mais encore là je laisse la parole aux physiciens.

Exemples :

l’énergie éolienne est inférieure à l’énergie nucléaire;

ces deux tournevis sont égaux (encore un problème linguistique);

l’espèce humaine est supérieure aux espèces animales.

g. la comparaison qualitative

Quant à la qualité, les liens sont autant évidents : pire, équivalent, ou mieux. Est-ce qu’une chose est pire, équivalente, ou mieux que l’autre? Pour certains sujets, le choix peut être évident, comme le choix entre la paix mondiale et la guerre, la paix est mieux, mais pour d’autres thèmes, cela pourra devenir extrêmement plus complexe. Une nouvelle fois, on peut se demander pire ou mieux par rapport à quoi? La conscience? L’amour? La réponse est aux prophètes!!!

Exemples :

son deuxième film était pire que le premier;

les deux performances sont équivalentes;

je me suis senti mieux que la première fois.

On voit bien que le processus s’arrête bien là, car « qu’est-ce qui est mieux que ce qui est mieux? » Réponse : rien. On a fini. La qualité est la chose la meilleure pour nous, êtres humains, c’est notre niveau d’entendement, de conscience le plus élevé, le meilleur.

——————–

Pour l’image entière:
http://bp1.blogger.com/_OcjGjiBzOpU/R2DJuahyBYI/AAAAAAAAAEo/xlCXo2WR0hU/s1600-h/triangle+universel+01.bmp

05
Mai
08

Clara et Socrate: Sur les Mathématiques

1. Clara est en train de lire un livre dans la cours d’école, à midi. Socrate la voit assise, seule et s’approche d’elle.

2. Salut Clara!
3. Hé salut Socrate, comment ça va?
4. Ça va pas mal, quoiqu’il y ait quelque chose qui me hante l’esprit depuis quelques jours…
5. Ah bon…qu’est-ce que c’est, peut-être que je peux t’aider?
6. En fait je me pose la question suivante depuis quelques temps : qu’est-ce que sont les mathématiques?
7. Haha! Encore une question facile!! Sacré Socrate, je me demande d’où te viennent ces idées; jamais de ma vie je ne me serai posée cette question! Mais soit, je vais essayer de t’aider comme je peux. Tu te demandes ce que sont les mathématiques?
8. Oui…
9. Tu dois déjà avoir une piste de réflexion je crois…
10. En effet. Je me suis posé la question suivante : quelle est la première chose qui me vient en tête quand je dis « mathématiques »? Qu’est-ce que tu répondrais à cette question, toi, Clara?

11. Euh…mathématiques? Les nombres!
12. C’est ce que je me suis dit aussi. Mais est-ce qu’il y a autre chose aussi?
13. Laisse moi réfléchir…À l’école, en mathématiques on apprend à compter, donc ça c’est les nombres, mais on dessine aussi! En cours de maths on utilise un crayon, une règle, un compas, un rapporteur, une équerre aussi : on fait des formes. C’est la géométrie ça. Est-ce que ça fait toujours partie des mathématiques ça Socrate?
14. Bonne question, je me suis posé exactement la même chose figure toi! Si on réussit à répondre à cette question, je suis sûr qu’on aura fait un grand pas dans notre investigation.
15. C’est vrai que c’est pas simple : d’un côté on a les nombres, et ça c’est sûr que c’est les maths, mais d’un autre on a des formes.
16. Est-ce que la géométrie fait partie des mathématiques?
17. Je dirai que oui, parce qu’à l’école quand on apprend à calculer ou à faire des formes, ça s’appelle toujours des mathématiques.
18. Peut-être que tes professeurs ne se sont jamais posés cette question, ou peut-être qu’ils ont été paresseux et qu’ils ne voulaient pas séparer les deux matières. Et même s’ils ont raison, on ne devrait pas les croire simplement parce que ce sont des professeurs, ou des adultes. Il faudra se le prouver à nous mêmes. Qu’est-ce que tu en dis?
19. Je suis d’accord. Allons-y alors, on a encore toute la récréation devant nous!
20. J’espère que ça suffira. Bon, alors notre première question est la suivante : qu’est-ce que sont les mathématiques?
21. On pourrait regarder ce qu’ils disent dans le dictionnaire, et trouver l’origine du mot.
22. Bien pensé Clara…
23. Alors, mathématiques : du grec mathêma qui veut dire science, blablabla… Ils mettent tout un tas de mots impressionnants pour nous perdre j’ai l’impression.
24. Restons avec l’étymologie grecque du mot : science. Regarde le mot science dans le dictionnaire maintenant…
25. Science : du latin scire qui veut dire savoir.
26. Bon, alors les mathématiques nous permettent de savoir des choses. Ça c’est leur fonction, c’est intéressant, mais ça ne répond pas à notre question de départ.
27. On devrait commencer par ce dont on est sûr…c’est-à-dire que les nombres font partie des mathématiques, et peut-être qu’à travers ça on pourra prouver si la géométrie fait partie ou non des maths.
28. D’accord. On pourrait se demander maintenant ce que sont les nombres. Quand tu penses à l’idée de nombre, de quoi est-ce que tu supposes l’existence?
29. Je ne suis pas sûre de comprendre ta question Socrate…
30. Sur quelle idée plus primaire est-ce que l’idée de nombres est fondée? Pour que les nombres existent, quelle autre idée antérieure doit exister?
31. Mmm…
32. Ok, pensons à ça : qu’est-ce qu’on fait avec les nombres?
33. On compte. On peut les additionner, les multiplier…
34. Avant ça encore, plus simplement. Si je te donne deux nombres : par exemple 2 et 3. Qu’est-ce que tu peux faire avec avant de faire des opérations?
35. Je peux les comparer!
36. D’accord, et comment fais-tu ça?
37. Je dis que 2 est plus petit que 3.
38. Très bien. Tu peux me donner un exemple concret de quelque chose de 2 et quelque chose de 3?
39. Sans problème Socrate! Je peux dire qu’un jus d’orange de 2 litres est plus petit qu’un jus de 3 litres.
40. En effet. Donc on doit d’abord s’accorder sur l’existence jus d’orange.
41. C’est sûr ça! Franchement Socrate!
42. D’accord. Ensuite, qu’est-ce qu’on suppose? Si je te dis par exemple que 3 Claras sont plus grandes qu’une Clara, qu’est-ce que tu penses?
43. Haha! Ça fait bizarre. Il faudrait que j’aie deux sœurs jumelles, mais même là, on n’aurait pas le même nom et on ne serait pas exactement pareilles. C’est étrange ce que tu me demandes Socrate, je ne vois pas le lien avec le jus d’orange…
44. Le jus d’orange existe. Clara existe. Jusque là on est d’accord. Maintenant, quelle idée existe dans le jus d’orange qui n’existe pas chez Clara, de sorte que je puisse parler de 2 litres et 3 litres de jus, mais pas de 2 ou 3 Claras?
45. Bien, moi, je suis unique, mais le jus d’orange, il peut y en avoir plein partout.
46. C’est vrai ça. Donc, de quoi est-ce que je parle quand je parle de litres?
47. C’est des volumes, je crois. C’est ça Socrate?
48. Oui c’est ça. Ce sont des volumes. Qu’est-ce que tu connais d’autre à part les volumes?
49. Je connais les grammes aussi. Ça s’appelle la masse je crois. Les mètres aussi, ça c’est les mesures. C’est tout non?
50. On pourrait dire que l’argent aussi fait partie de ces choses là?
51. Bien sûr. Hé, je pense que je comprends : toutes ces choses là on peut les compter, on peut utiliser des nombres avec, mais pas avec moi par exemple.
52. Exactement. Maintenant si on devait trouver l’idée encore plus générale qui englobe les volumes, les masses, etc., comment ça s’appelle?
53. L’idée de quantité?
54. Exactement, la quantité, ou la grandeur. Est-ce que tu es d’accord avec moi pour dire que le volume, la masse, etc. supposent l’idée de quantité?
55. Oui, je suis d’accord. Et moi, par exemple, je n’ai pas de quantité. On ne peut pas prendre deux « moi » ou la moitié de « moi », alors qu’on peut prendre deux litres de jus.
56. Exactement. On était arrivé à l’idée de mesure à travers les nombres. On avait comparé 2 litres de jus et 3 litres de jus et on avait dit que 2 litres c’était moins que 3 litres. Donc à partir de l’idée de nombre, on est revenu à l’idée de quantité. Maintenant, laquelle est plus élémentaire à ton avis, Clara?
57. Wow, ce n’est pas facile comme question! Mais je vais essayer d’y répondre en prenant le temps d’y réfléchir. Sois patient s’il te plaît Socrate. Alors, en gros tu me demandes la chose suivante : est-ce que la quantité suppose l’idée de nombres, ou est-ce que les nombres supposent l’idée de quantité? Je ne suis pas sûre…
58. Laisse moi t’aider avec une autre question : est-ce que tu peux parler de quantité sans parler nécessairement de nombre? Est-ce que tu peux parler de nombres sans parler nécessairement de quantité?
59. C’est évident que je ne peux pas parler de nombres sans parler de quantité. Si je parle de 2 et 3 comme nombre, je peux tout de suite dire que 2 est plus petit que 3, donc je parle tout de suite de quantité. Maintenant, si on parle de quantité seulement, par exemple ta taille et ma taille, je peux facilement dire que ton corps est plus grand que le mien, sans avoir recours aux nombres. Je suis satisfaite de mon raisonnement : l’idée de quantité est antérieure à celle de nombre.
60. On est d’accord là-dessus. Tu m’impressionnes Clara, pour ton âge, tu as beaucoup plus de sens commun que beaucoup d’adultes!!
61. Merci Socrate!
62. Donc les nombres viennent de l’étude des quantités.
63. Oui.
64. On pourrait donc dire que les mathématiques étudient les quantités, et que les nombres servent de métaphore à ces quantités?
65. C’est vrai, parce que quand je dis 2, ou 3, ou n’importe quel nombre, rien ne me vient à l’esprit, je suis obligé de dire 2 litres, ou 3 bananes. Les nombres tout seuls comme ça, ça ne veut rien dire. C’est comme un langage qu’on a inventé pour représenter les quantités de choses.
66. Exactement. Les arabes encore n’écrivent pas les nombres de la même manière. Donc on peut dire avec confiance que l’écriture du nombre et même sa prononciation et sa forme n’ont aucune signification en soi, mais représentent une métaphore pour représenter des relations entre quantités. On pourra se lancer dans une investigation plus approfondie sur les nombres une autre fois, car cela mériterait notre attention. Mais pour le moment, restons avec notre idée de départ, c’est-à-dire de comprendre ce que sont les mathématiques. Alors on a dit que quand on étudie les nombres, on étudie des quantités. Maintenant, permets-moi de te poser la question suivante Clara : qu’est-ce que l’idée de quantité suppose?
67. Ah non!!! J’étais sûre que tu allais me demander ça!! Ça me paraît encore plus difficile que ce qu’on a fait tout à l’heure. Mais si on suit le même raisonnement, il faudrait trouver des exemples de quantités différentes, c’est ça Socrate?
68. Oui, c’est à peu près ça, en fait tu dois trouver des exemples de manifestations de l’idée de quantité. On oublie les nombres, je veux simplement que tu compares la quantité des choses.
69. Tout à l’heure j’ai comparé ta taille avec la mienne. J’ai dit que tu étais plus grand que moi.
70. D’accord, quel autre exemple tu peux trouver, autre que la taille?
71. Le volume? Comme avec le jus…
72. D’accord, comparons des volumes alors. Qui occupe un plus grand volume, toi ou moi?
73. Je dirai que c’est toi.
74. Comment tu le sais?
75. Parce que tu es plus grand, et tu es plus large que moi.
76. Comment est-ce qu’on pourrait vérifier ça?
77. On pourrait faire comme Archimède, non?
78. En effet. Et si on ne pouvait pas, si on devait seulement, en regardant, décider si un volume est plus grand qu’un autre? Pour ça, je te conseille d’observer des objets plus simples, comme des verres par exemple. Quand tu vas manger dans des fast-foods, si tu vas manger dans ce genre d’endroit, on te propose différents volumes pour ta boisson, oui?
79. Oui : petit, moyen et grand normalement.
80. Si je prenais un verre petit, un moyen et un grand, et je les mettais devant tes yeux maintenant, est-ce que tu pourrais me dire lequel est le plus grand?
81. Bien sûr!
82. Maintenant si je prenais une bouteille d’eau quelconque, d’à peu près la même hauteur et largeur que le verre moyen, et je la posai à côté, est-ce que tu pourrais me comparer son volume avec les autres verres?
83. Ça serait difficile…mais c’est sûr que je ne pourrais pas le dire avec autant de confiance que pour les 3 verres.
84. Qu’est-ce qui te permet de comparer rapidement et avec précision les 3 verres, et pas la bouteille?
85. Ils ont la même forme?
86. Exactement! Ils ont la même forme. Donc qu’est-ce qui te permet de comparer des quantités entre elles?
87. La forme qu’elles ont en commun?
88. Exactement. Je vais te poser la question suivante : est-ce que tu peux imaginer une quantité qui n’a pas de forme? Et, est-ce que tu peux imaginer une forme qui n’a pas de quantité?
89. Wow! Je crois que je commence à comprendre où tu veux en venir. Une quantité doit avoir une forme, même si cette forme doit être très petite. Et une forme doit avoir une quantité, sinon elle n’existerait pas. Les deux principes sont reliés, c’est comme s’ils venaient ensemble!
90. C’est vrai, on pourrait dire qu’ils sont synchroniques. Donc étudier les quantités, ça revient à étudier les formes non?
91. Oui, oui…En étudiant les formes, on étudie les quantités, c’est obligé.
92. D’accord, et comment s’appelle l’étude des formes? Comment s’appelle la matière à l’école pendant laquelle tu étudies les formes?
93. C’est la géométrie! Là je comprends!! Quel voyage tu m’as fait faire Socrate, pour revenir à la géométrie!! Si je récapitule ce qu’on a dit : les nombres supposent les quantités, et les quantités et les formes sont interdépendantes, donc étudier les formes, ce que fait la géométrie, revient à étudier les quantités, et donc les nombres…
94. Ce qu’on appelle l’algèbre. Bravo Clara!
95. C’est vraiment intéressant comme raisonnement Socrate, simplement en cherchant les suppositions des idées, en cherchant leur fondement, ou leurs idées antérieures, on est capable de prouver des choses assez complexes.
96. Essayons de voir jusqu’à où peut nous mener ce raisonnement : on est passé des nombres aux quantités et des quantités aux formes. En étudiant les formes, on étudie les nombres. Mais en étudiant les nombres tout seuls, on ne fait pas forcément de la géométrie. Rappelle-toi ce qu’on avait fait avec le doublement du carré. On avait trouvé que la racine carré de 2 se construisait par la diagonale d’un carré de côté 1. Donc ce nombre, avec une simple règle n’était pas constructible, il nous fallait un principe de géométrie pour le générer : il nous fallait tracer une forme pour les représenter. Ce sont des exemples concrets de nombres qui n’ont pas de sens en soi, mais prennent vie quand on comprend qu’ils viennent de formes géométriques.
97. Et le nombre pi dans tout ça?
98. Bien vu Clara. Pi aussi en soi, n’est représentable que par une métaphore d’un tout autre ordre, non plus par les nombres conventionnels, mais par une lettre grecque! C’est pour dire à quel point son concept est inaccessible avec l’écriture seulement. Mais quand on se tourne vers la géométrie, on le comprend beaucoup mieux : on peut tracer un cercle de diamètre 1, et regarder la longueur tracée par le périmètre du cercle : c’est pi. C’est là qu’on comprend encore mieux la limite de l’algèbre par rapport à la géométrie.
99. Les mathématiques, alors, dans tout ça, on pourrait dire qu’ils étudient les formes primordialement, et qu’à travers les formes, ils étudient les nombres?
100. Tout à fait. Et qu’est-ce qui est mieux : étudier les nombres seuls, ou étudier la géométrie qui crée ces nombres?
101. La science qui produit les nombres, évidemment!
102. Pense à cette idée : l’algèbre est à la géométrie comme la poésie est au rêve. Et c’est pour ça qu’un vrai mathématicien est aussi un poète. L’algèbre est un outil pour communiquer, comme l’écriture. Imagine que tu es partie en vacances en Grèce, et que tu visites l’Acropole d’Athènes, et que tu veux la décrire dans une lettre à ton amie. Tu vas utiliser des mots pour décrire des images, et des émotions que tu as ressenties en visitant ces endroits. Tu ne donnes pas ces images directement à ton amie, tu lui décris avec des mots afin qu’elle puisse se les imaginer par elle-même par la suite. C’est la même chose avec l’algèbre : les équations sont vides de sens si elles ne représentent pas des formes ou des relations géométriques et en les lisant tu ne peux rien extrapoler d’autre dans ton esprit que les symboles devant toi. Alors que le vrai algèbre doit pouvoir, comme avec des phrases, généré dans ton esprit des formes, des mouvements et des relations entre ces choses! La cloche vient de sonner, je te laisse là-dessus Clara, on aura sûrement l’occasion d’en reparler plus tard. C’était une discussion très agréable et enrichissante, merci!
103. Merci à toi Socrate!!

104. Socrate part, Clara range ses affaires, et se dit à elle-même : «des fois je me demande s’il sait toutes ces choses avant de me parler, ou s’il les découvre vraiment en même temps que moi!»

05
Mai
08

Clara et Socrate: le doublement du carré

1. Clara vient de finir l’école. Elle a reçu la note de son dernier examen de mathématiques, elle est déçu de son résultat : elle pensait avoir réussi, mais elle a eu une mauvaise note. Elle se prépare à rentrer chez elle à pied, en pensant à comment annoncer la note à ses parents. En ouvrant la porte de sortie de l’école, elle voit Socrate qui est en train de rentrer.

2. Salut Clara!

3. Hé, salut Socrate…

4. Qu’est-ce qui ne va pas?

5. J’ai reçu le résultat de mon dernier examen de maths et j’ai eu 7/20. Pourtant j’avais commencé à réviser trois jours avant. Je connaissais mon cours par cœur. Je ne comprends pas ce qui s’est passé…

6. Ne t’en fais pas pour ça, ce n’est qu’une note, tu te rattraperas.

7. Mais j’ai toujours eu des mauvaises notes en maths! Même quand je révise j’ai des mauvaises notes; je suis vraiment nulle.

8. Écoute, je dois aller déposer une lettre à l’administration. Reste ici, et quand je reviens je vais te proposer quelque chose pour te prouver que tu n’es pas nulle, comme tu dis. Qu’est-ce que tu en dis?

9. Ok. Je vais m’asseoir en t’attendant.

10. Je reviens dans deux minutes.


11. Socrate revient, et s’assoit à côté de Clara avec un papier et un crayon.

12. Je vais te poser un problème qui date de la Grèce Antique, et dont Platon fait mention dans un de ses textes : comment doubler l’aire d’un carré. Je vais te prouver que tu es capable de le résoudre. Tu es prête?

13. Mais je ne serai pas capable! Je ne suis même pas capable de résoudre des problèmes que mon professeur me donne, encore moins un problème d’il y a plus de 2000 ans!

14. Pourquoi?

15. Parce que je n’ai jamais été capable de résoudre aucun problème toute seule!

16. Mais est-ce que tu as déjà essayé de résoudre celui que je veux te présenter?

17. Non.

18. Est-ce que tu acceptes au moins que je te l’explique? Et si tu n’es vraiment pas capable, au moins on en aura le cœur net.

19. Bon, d’accord…

20. Alors, le problème est le suivant : si je te donne un carré quelconque, celui-ci par exemple (fig. 1), comment ferais-tu pour trouver le carré dont l’aire est le double de celui-là?

21. Je ne suis pas sûre de comprendre ce que tu veux dire…

22. Admettons que le carré que je t’ai donné ait une aire de 1. Comment ferais-tu pour tracer le carré avec une aire de 2?

23. Je n’arrive pas à visualiser ce que tu veux dire, Socrate. Je t’ai dit que j’étais nulle en maths…

24. Pas de problème. Je vais te présenter le problème encore d’une autre façon. Tu pourras le voir avec tes propres yeux, et le toucher avec tes mains. Reprenons le premier carré (fig. 1). Faisons-en un autre identique. Tu te retrouves maintenant avec deux carrés identiques (fig. 2), on est d’accord?

25. Attends… oui, c’est vrai, ils ont les mêmes longueurs.

26. Bien. Maintenant, combien a-t-on dit que leur aire valait?

27. L’aire des deux carrés identiques?

28. Oui.

29. Je ne sais plus trop… on n’avait pas dit 1?

30. Exactement. On avait dit que l’aire du premier carré (fig. 1) était 1. Donc l’aire de son « jumeau » est 1 aussi?

31. Oui.

32. Est-ce que tu es d’accord avec moi pour dire que si on ajoute l’aire de ces deux carrés identiques, on aura une aire de 2?

33. 1+1=2, oui.

34. D’accord, donc si j’additionne leur aire, j’arrive à une aire de 2. De combien est-ce que cette nouvelle aire est-elle plus grande que notre aire originale de 1?

35. On est passé d’une aire de 1 à une aire de 2. C’est deux fois plus grand!

36. Excellent. On passe donc d’une aire de 1 à une aire de 2. Je vais te poser deux questions maintenant. Tu me suis toujours?

37. Oui, oui, continue Socrate.

38. La première question, plutôt facile est la suivante : quelle est la forme géométrique de notre première figure (fig. 1)?

39. Attends, c’est presque trop facile, j’ai peur qu’il y ait un piège. Mais en même temps, la question est sans ambiguïté. Si je la comprends bien, la bonne réponse c’est que la première figure est un carré. Est-ce que j’ai raison Socrate?

40. Tout à fait.

41. Haha! Le piège c’était de croire qu’il y avait un piège!!! Sacré Socrate! T’as vu, je ne suis pas tombé dedans.

42. Bien joué Clara! Continuons : on avait donc un carré d’aire 1 au départ. On en a ajouté un deuxième identique et on est arrivé à une aire de 2. Voici ma deuxième question : quelle forme géométrique obtient-on quand on ajoute nos deux carrés?

43. Euh… laisse moi voir. Alors si je prends le premier carré et je colle le deuxième sur un côté (fig. 3), j’obtiens un… Attends, je le sais! C’est un… Attends, laisse moi trouver, je le sais, je l’ai appris, je m’en souviens!!! C’est un…rectangle! Haha! J’ai eu peur de l’avoir oublié. C’est un rectangle.

44. Très bien, c’est un rectangle. Donc si on ajoute bout à bout deux carrés identiques d’aire 1 chacun, on obtient un rectangle. Quelle est l’aire de ce rectangle?

45. Bien, c’est l’aire du premier carré plus l’aire du deuxième carré. C’est-à-dire, 1+1, donc l’aire du rectangle est 2.

46. Excellent Clara. On a très bien avancé jusqu’à maintenant et tu as été très perspicace et attentive. Déjà pour arriver ici, tu mérites toute ma reconnaissance et mon admiration. Je comprendrai si tu voulais arrêter là, mais il nous reste une dernière étape avant de pouvoir dire qu’on a vraiment résolu le problème. Tu te sens prête à continuer?

47. Je suis un peu fatiguée, mais je pense pouvoir te suivre encore quelques minutes.

48. Très bien. Alors ma dernière question est assez simple et si tu réussis à y répondre, tu auras réussi à résoudre une énigme mathématique datant de la Grèce Antique. Et tu partageras cette découverte avec des milliers de gens qui l’ont fait avant toi! Voici la fameuse question : y a-t-il une autre manière d’additionner les deux carrés, de sorte que la forme géométrique finale soit un carré? Autrement dit, qu’est-ce que tu pourrais faire pour transformer les deux carrés que tu as en un autre carré plus grand?

49. Attends, si je comprends bien ta question, tu me demandes de prendre les deux carrés identiques, de les assembler pour arriver à un autre carré (fig. 4), au lieu d’un rectangle comme on avait tout à l’heure (fig. 3)?

50. Exactement. Qu’est-ce que tu devrais faire pour y arriver?

51. Si je les mets côtes à côtes, vers la gauche ou la droite, ou vers le bas ou le haut, j’aurai toujours un rectangle (fig. 5)!

52. C’est vrai…

53. Si je relie seulement un de leurs sommets, j’obtiens une autre forme, mais ce n’est pas un carré (fig. 6). Mmm… Je pense que c’est impossible.

54. Donc tu dis que peu importe comment tu les colle l’un à l’autre, par les côtés ou par les sommets, tu n’arriveras jamais à un carré?

55. C’est ça.

56. Je suis d’accord avec toi. On a beau les coller à droite, à gauche, en haut, en bas, par chacun des quatre sommets, les incliner, etc., on n’arrivera jamais à créer la forme d’un carré (fig. 7). Maintenant, pense à cette question : est-ce que c’est la seule manière d’ajouter deux choses ensemble?

57. Je ne comprends pas ce que tu veux dire…

58. Je vais te donner un exemple : qu’est-ce que tu fais si tu veux mettre deux tranches de jambon dans ton sandwich, mais les deux tranches que tu as sont trop grandes pour ton pain?

59. Haha! Je ne vois pas le lien entre les carrés et les tranches de jambon, mais je vais y répondre pour te faire plaisir Socrate. Pour rentrer les deux tranches que j’ai dans mon sandwich sans qu’elles ne dépassent du pain, je vais les plier.

60. Oui. Ou alors?

61. Sinon je peux les couper.

62. Exactement. Reviens maintenant aux deux carrés. De quelle autre manière peux-tu les additionner?

63. En les coupant?

64. Oui, pourquoi pas?

65. Mais, qui a dit que je pouvais les couper?

66. Qui a dit que tu ne pouvais pas les couper?

67. Mais, tu n’as jamais dit dans ton problème que j’avais le droit de les couper!! Comment suis-je sensée savoir?

68. Je ne t’ai donné aucune restriction, je t’ai présenté le problème comme ça : comment doubler l’aire d’un carré?

69. Mais…

70. Si je ne te dis rien sur la manière de le faire, tu dois assumer que tu as le droit de tout faire! Quand tu as le droit de tout faire, la limite c’est ton imagination.

71. Bon, je ne suis pas convaincue, mais pour cette fois ça va aller…

72. Continue, maintenant en sachant que tu peux les couper…

73. Alors si j’ai le droit de les couper c’est facile… Je prends le premier, je le coupe à la moitié verticalement (fig. 8) et je colle les deux parties sur les côtés du deuxième (fig. 9). Voilà.

74. D’accord. Quelle est la forme que tu as créée?

75. Un carré. Ah non! Il y a un trou (fig. 10)! Zut! C’est pas grave, je vais couper moins comme ça il me restera un bout pour remplir le trou. Alors je vais encore couper à la moitié, mais je vais découper une petite bande de chaque partie. Je vais poser les deux parties sur les côtés du carré, comme avant, (fig. 10) puis je vais rétrécir les deux bandes pour les faire rentrer dans le trou (fig. 11).

76. Est-ce que tu obtiens un carré?

77. Non. Zut! Là mon trou est trop rempli, il y a des bouts qui dépassent! Alors il suffit de couper des bandes plus petites…

78. De combien plus petites?

79. Ben, je ne sais pas exactement, mais plus petites qu’avant.

80. N’oublie pas, on veut exactement un carré, il faut que tes bandes tombent pile.

81. Pour savoir exactement, c’est impossible. Si je prends des bandes plus petites, les deux parties que je colle sur les côtés du carré vont être plus grandes, c’est trop compliqué, il me faudrait une règle peut-être.

82. Non, la règle va encore plus compliquer. Tu peux le faire sans règle.

83. Mais avec les bandes comme ça, ça ne marche pas, sans règle, ou sans calcul, je ne peux pas savoir exactement.

84. Oublie les calculs. Reviens à quand je t’ai demandé si on pouvait additionner les carrés d’une autre manière et tu m’as répondu « en les coupant ».

85. D’accord.

86. Qu’est-ce que tu as pensé faire ensuite?

87. J’ai décidé de couper un carré à la moitié, verticalement…

88. Oui. Est-ce que tu as essayé horizontalement?

89. Haha! Franchement Socrate, c’est la même chose. Si je le coupe de haut en bas ou de gauche à droite, c’est la même chose! Des fois je me demande si tu fais exprès.

90. Donc verticalement ça ne marche pas, horizontalement non plus…qu’est-ce qu’il nous reste à essayer?

91. Je sais!!! En diagonale, on n’a pas essayé!

92. Vas-y…

93. Je prends un carré, je le coupe en diagonale (fig. 12). Je prends chacune des deux parties, et je les colle sur deux côtés de l’autre carré (fig. 13). Mais ça ne marche pas! Et peu importe où je les colle, ça ne me donne pas un carré, ça me donne une forme bizarre.

94. Pense à ton sandwich. Tu as seulement coupé un des deux tranches…

95. Je modifie l’autre aussi?

96. Pourquoi pas?

97. D’accord. Alors, je coupe le deuxième carré aussi (fig. 14). Ça devient amusant maintenant Socrate! Ça me fait penser aux legos, ou à un puzzle. J’ai quatre pièces identiques et je dois les assembler pour former un carré, voyons voir…

À toi de jouer :

– Es-tu capable de transformer ces quatre triangles (fig. 14) en un carré? Tu peux découper, sur une feuille, deux carrés identiques, puis les couper en diagonale pour la construction.

– Combien mesure le côté de ton nouveau carré dont l’aire est égale à 2? Qu’est-ce que ce nombre a de particulier, par rapport aux nombres entiers (1, 23, 827) et aux nombres fractionnaires (1.5, 45/7, 1/3)?

– Est-ce que tu aurais pu mesurer cette longueur avec ta règle, comme Clara voulait faire à un moment?

– En répondant à ces questions, tu viens de rentrer dans une nouvelle sorte de nombre : les nombres irrationnels.

– Aussi, tu es rentré dans la nature de l’espace et des quantités : la racine de 2 n’existe pas sur la ligne droite, mais existe comme une grandeur unitaire doublement étendue (dans deux directions différentes).