21
Mai
08

La topologie de Leibniz: analysis situs

Voilà que je veux vous présenter ici une nouvelle topologie que vous n’avez très certainement jamais apprise, et qui est surtout supérieure à celles qui existent aujourd’hui (à ma connaissance).

Je vais commencer par une citation de Leibniz qui sera l’avocate de la supériorité de sa topologie:

« Dieu a choisi [le monde] qui est le plus parfait, c’est à dire celui qui est en même temps le plus simple en hypotheses et le plus riche en phenomenes »

Cela veut dire un minimum de règles, de principes, de lois et un maximum de possibilités. C’est ce principe qu’il a appliqué au développement de ce qu’il a appelé l’analysis situs, qui est devenu la topologie, mais dont il est le véritable fondateur.

Leibniz, comme il a si bien réussi à me convaincre aussi, trouve que le monde géométrique de Descartes est loin à la fois de la réalité et aussi de la simplicité. Comment exprimer une forme apparemment simple comme un cercle ou une sphère. On doit déjà commencer, systématiquement, par définir un repère dit « cartésien », et ensuite on doit déterminer une équation. Pour un cercle par exemple, après avoir défini le repère cartésien, on a x^2 + y^2 = r^2. Cela fait un total de 11 symboles (on compte les puissances comme un symbole à part entière, même si on peut l’écrire en exposant, car il s’agit de l’expression d’un principe différent). 11 symboles pour un cercle. Et cela reste relativement simple, mais à quel point se complique-t-on la vie pour exprimer des formes ne serait-ce qu’un peu plus complexe (cône, tore, ellipsoïde, etc.). C’est un système clairement handicapant et contre-intuitif. Mais il a un mérite, tout est immobile, il n’y a pas de surprise. C’est un monde froid, mais rassurant.

Leibniz n’aime pas ce monde, tout comme moi d’ailleurs. Il propose une autre manière de décrire des formes, en utilisant le minimum de symboles et une approche purement constructive et intuitive. Il l’appelle l’analysis situs, ce qui signifie l’analyse des situations:
« Les méthodes géométriques auxquelles je songe sont au nombre de deux: la première consiste à exprimer complètement une figure en n’utilisant que des caractères, sans l’aide d’explications verbales et sans y adjoindre de figure; la seconde consiste à le faire en n’utilisant que des mots, sans l’aide d’aucun autre caractère et sans l’aide d’aucune figure. »

Une autre citation prenante:
« L’algèbre n’est autre chose que la caractéristique des nombres indéterminés, ou des grandeurs. Mais elle n’exprime pas directement la situation, les angles, et le mouvement. »

Assez de suspense, voilà son invention (ou découverte?!?):
Soit le symbole « \/ » signifiant « pareil que ». Soient les lettres du début de l’alphabet A, B, C, etc. des points fixes de l’espace, et les dernières lettres de l’alphabet Z, Y, X, etc. des ensembles de points de l’espace.

Exemple simple:

  • AB \/ AZ = l’ensemble des points Z tel qu’ils aient tous la même relation avec A que la relation de B avec A; autrement dit l’ensemble des points Z de sorte que la distance AB soit la même que la distance AZ; à vous de trouver la forme correspondante…
  • AZ \/ BZ = l’ensemble des points Z tel qu’ils aient tous la même relation avec A et B; autrement dit, l’ensemble des points Z tel qu’ils soient à la même distance de A que de B; à vous de trouver…
  • AZ \/ BZ \/ CZ = l’ensemble des points Z tel qu’ils soient à la même distance de A, B, et C…
  • ABC \/ ABZ = l’ensemble des points Z tel qu’ils aient la même relation avec A et B que la relation qu’entretient C avec A et B; autrement dit, l’ensemble des points Z tel que la distance AZ = AC, BZ = BC; un peu plus dur, mais faisable…

Toutes les citations viennent du livre « la caractéristique géométrique » par Leibniz édité chez VRIN. Je pourrai écrire aussi des citations très intéressantes sur les applications possibles d’une telle topologie…

2ème partie

Pour essayer de prolonger la discussion et surtout montrer mon niveau d’approfondissement de ce langage, je vous propose deux nouvelles formes très particulières qui, je le pense, laissent entrevoir des possibilités intéressantes:

  • AB \/ AZ \/ ZX;
  • AB \/ AZ \/ ZX \/ XY.

Je voudrais terminer avec les propos de l’auteur du langage en question, notre très cher Gottfried Leibniz, tiré d’une lettre adressée à Christian Huyghens en 1679:

« Si elle était achevée de la manière que je la conçois, on pourrait faire en caractères qui ne seront que des lettres de l’alphabet la description d’une machine quelque composée qu’elle pourrait être, ce qui donnerait moyen à l’esprit de la connaître distinctement et facilement, avec toutes les pièces et même avec leur usage et mouvement, sans se servir de figures ni de modelles, et sans gêner l’imagination. […] On pourrait faire aussi par ce moyen des descriptions exactes des choses naturelles, comme par exemple des plantes et de la structure des animaux. »

« Je crois qu’on pourrait manier par ce moyen la mécanique, presque comme la géométrie. Et qu’on pourrait même venir jusqu’à examiner les qualités des matériaux, parce que cela dépend ordinairement de certaines figures de leurs parties sensibles, comme si on décrivait la constitution, on en pourrait déduire leurs usages. »

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